TUGAS 4

 

TUGAS 3

 

TUGAS 2

 

TUGAS 1

 

DERET HITUNG DAN UKUR

 PERBEDAAN DERET UKUR DAN DERET HITUNG

Deret Hitung = perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan atau pengurangan . disebut Pembeda , contoh :


                         7 12 17 22 27 32

                   pembeda : 12-7 = 5 , jadi pembeda nya masing-masing suku 5


Deret Ukur = perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian atau pembagian. disebut Pengganda, contoh :

                     

                         512 256 128 64 32 16

                   pengganda : 256 : 512 = 0,5 , jadi pengganda nya masing-masing suku 0.5

                     


RUMUS DERET HITUNG


          Untuk mencari suku tertentu ( Sn ) :



                    Sn= a + ( n-1)b

                            

                           

         Untuk mencari jumlah sampai dengan suku tertentu ( Jn ) :

                                                                           


                   Jn =n (2a + ( n-1 )b)   

                          2


            Keterangan : a : suku pertama atau S1

                                    b : pembeda

                                    n : indeks suku / suku yang menetukan



RUMUS DERET UKUR


            Untuk mencari suku tertentu ( Sn ) :



                                                             n-1     

                                                Sn = ap


          Untuk mencari jumlah sampai dengan suku tertentu ( Jn ) :


                         

                      1. jika pengganda lebih dari 1 maka menggunakan rumus :


                              Jn = a ( Pn -1 )                     

                                          P-1


                      2. Jika pengganda kurang dari 1 maka menggunakan rumus :


                              Jn= a ( 1 -Pn )

                                      1-Pn 

CONTOH SOAL 


1. Dari sebuah deret hitung suku pertamanya 200 dan pembeda antara suku-sukunya 25, hitunglah:

    a) S5 c) J5

    b) S10 d) J10


    jawab :


    a) Sn = a + (n-1) b

             =200 + ( 5 - 1 ) 25

             =200 + (4) 25

             =200 + 100

            = 300


   b) Sn = a + ( n-1 ) b

             = 200 + (10-1) 25

             = 200 + (9) 25

             = 200 + 225

             = 425


    c) Jn = n (2a + (n-1) b)

                2

             = 5 (2.200 + (5-1) 25 )

                2

             = 5(400 + (4) 25

                2

             = 5(200)+ 100

             =1000 +100

             =1100

   

    d) Jn = n (2a + (n-1) b)

                2

              =10 (2.200 + (10-1)25

                 2

              =10 (400 + (9)25

                 2

              = 5 (400 + 225)

              = 5 (625)

              = 3125

              


2. Hitunglah S5,S15,dan J10 dari suatu deret hitung yang suku pertamanya 1000 dan pembeda antar sukunya -50.


jawab :

 Diket : a = 1000

             b= - 50


Ditanya : 1) S5...?

                2) S15.....?

                3) J10 ..... ?


Dijawab :


 1) Sn= a + (n-1) b

      S5=1000+(5-1) -50

          =1000+(4) -50

          =1000-200

          =800


 2) Sn = a + (n-1) b

      S15=1000+(15-1) -50

            =1000+(14) -50

            =1000-700

            =300


 3) Jn = n (2a + (n-1) b)

              2

      J10=10 (2.1000+(10-1) -50)

               2

            =10 (2000+(9) -50)

               2

            =5(2000 - 450)

            =5(1550)

            =7750


3. Jika a = 100 dan S7 =160, berapa :

 

    a) b? c) n untuk Sn = 250 ?


    b) S11? d) J16 ?



Jawab :

 

    a) Diket : a = 100

                    s7= 160

     

     Ditanya : b... ?


     Dijawab : Sn = a + ( n-1 ) b

                      S7= 100+(7-1) b

                     160= 100 +6b

              160-100= 6b

                      60 = 6b

                      60 = b

                       6

                       10 = b


      b) Diket : a = 100

                       b = 10 (dapat dari jawaban soal a)


          Ditanya : S11 .. ?

     

          Dijawab : Sn = a + ( n -1 ) b

                              S11 = 100 + (11-1) 10

                                     = 100 + (10) 10

                                     = 100 +100

                                     = 200

 c) Diket :

                        a =100

                        b = 10

                       S n = 250


         Ditanya : n... ?


         Dijawab : Sn=a + (n-1) b

                         250= 100 + (n-1) 10

                         250=100 + 10n - 1n

                        250 =100 +9n

                  250-100= 9n

                        150 = 9n

                        150 = n

                         9

                         16,67 = n


       d) Diket :

                     a = 100

                     b = 10

             Ditanya : J16....?

           

             Dijawab : Jn = n ( 2a + (n-1) b )

                                     2

                             J16= 16 (2.100 + (16-1) 10 )

                                       2

                            J16 = 16 ( 200 + (15) 10 )

                                       2

                                 = 8 (200 + 150)

                                 = 8 ( 350)

                                 = 2800


4. Jika S3 dan S7 dari sebuah deret hitung masing-masing adalah 50 dan 70 berapa :


    a) S1 ? c) J5 ?


    b) S10 ? d) J178?


Jawab :


 a) Diket : S3 = 50

                 S7 = 70


    Ditanya : S1 atau a ?


   Dijawab : I) Sn = a + ( n - 1) b II) Sn = a + (n - 1 ) b

                          S3 = a + ( 3-1 ) b S7 =a + ( 7-1 ) b

                          50 = a + 2b 70 = a + 6b

 

menggunakan cara Eliminasi :

                     

                        50 = a + 2b x6

                        70 = a + 6b x2

                       300= 6a + 12b

                       140= 2a + 12b   

                       160=4a

                       160=a

                         4

                       40 =a / s1



     

  b) Diket : a = 40

                  S3 =50

      Ditanya : b..?

                      s10... ?


      dijawab : Sn = a + ( n -1 ) b

                      S3= 40 + (3-1) b

                      50 = 40 + 2b

                 50-40 = 2b

                       10 = b

                        2

                        5 = b


                      Sn = a + (n-1) b

                      S10= 40 + (10-1 ) 5

                            = 40 + (9) 5

                            = 40 + 45

                            = 85


    c) Diket : a = 40

                    b = 5


        Ditanya : J5... ?

   

       Dijawab : Jn = n (2a + (n -1) b )

                               2

                        J5= 5 (2.40 + ( 5-1) 5 )

                               2

                            = 5 (80 + (4) 5 )

                               2

                            = 5 (40 + 20 )

                             = 5 (60)

                             = 300


      d) Diket : a = 40

                      b = 5


        Ditanya : J178... ?


       Dijawab : Jn = n (2a + (n -1) b )

                               2

                    J178=178 (2.40 + ( 178-1) 5 )

                               2

                            =178 (80 + (177) 5 )

                               2

                            = 89 (80 + 885 )

                             =89 (965)

                             = 85 885


5. Untuk S6 = 24000 dan S10 = 18000, hitunglah :

 

   a) b c) J21


  b) n untuk Sn = 0 d) J22


    Jawaban :


  a) diket : S6 = 24000

                 S10= 18000

    Ditanya : a..?

                    b.. ?

   Dijawab :

                     I) Sn = a + ( n -1 ) b II) Sn = a + (n -1) b

                         S6 = a + ( 6-1 ) b S10 = a + ( 10 - 1 ) b

                    24000= a + 5b 18000 = a + 9b


     menggunakan cara eliminasi :

               

                  24000 = a + 5b x9

                  18000 = a + 9b x5

                216000 = 9a + 45b

                90000 = 5a + 45b

               126000 = 4a

               126000 = a

                   4

                 31500 = a


           

                  Sn = a + ( n-1 )b

                  S10= 31500 + ( 10- 1 ) b

             18000 = 31500 + 9b

  18000-31500 = 9b

            -13500 = b

                 9

            - 1500 = b



     b) Diket : a = 31500

                     b = - 1500


         Ditanya: n untuk Sn = 0 ?


         Dijawab : Sn = a + (n -1 ) b

                           0 = 31500 + (n-1 ) - 1500

                           0 =31500 -1500n + 1500

              0 -31500 = - 1500n + 1500

        -31500-1500 = - 1500n

                - 33000 = n

                   -1500 

                      22 = n


      c) Diket : a = 31500

                     b = - 1500


          Ditanya : J21.. ?


          Dijawab :Jn= n (2a + (n-1) b)

                              2

                        J21= 21 (2.31500 + (21-1) - 1500)

                                 2

                        J21= 21 (63000 + (20) - 1500)

                                 2

                        J21= 21 (63000 + (20) - 1500)

                                 2 

                         J21= 21 (31500 - 30000)


                         J21 = 21 (1500)


                         J21 = 31500

INTEGRAL

 1.      Integral Tertentu

            Integral tentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai – nilai variable bebasnya (memiliki batas – batas) tertentu. Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area yang terletak di antara kurva y ꞊ f(x) dan sumbu horizontal –x, dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh x ꞊ a dan x ꞊ b.

Dalam integral taktentu kita temukan bahwa

Jika kita ini mengetahui hasil integrasi tersebut untuk suatu rentangan wilayah tertentu, katakanlah antara x ꞊ a dan x ꞊ b dimana a < b, maka x dapat disubstitusi dengan nilai – nilai a dan b sehingga ruas kanan persamaan diatas menjadi:

F(b) – F(a) adalah hasil integral tertentu dari f(x) antara a dan b. Secara lengkap persamaan pertama tadi didapat dituliskan menjadi :

Keterangan Rumus :

·        ʃ = Tanda Integral

·        f(x)dx = Diferensial dari F(x)

·        f(x) = Integral

·        F(x) = Integral Partikular

·        a = Batas Bawah

·        b = Batas Atas

Sifat sifat integral:

1.      Nol

2.      Urutan Integrasi

 

3.      Perkalian

 

 

4.      Penjumlahan

2.      Penerapan Ekonomi

Dalam penerapan di ekonomi integral tertentu dapat digunakan untuk mencari besarnya Keuntungan Konsumen (Surplus Konsumen) dan Keuntungan Produsen (Surplus Produsen)

      2.1  Surplus Konsumen

Surplus konsumen ( Consumers’ surplus ) Mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinimati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Besarnya Surplus Konsumen (Cs) singkatan dari “Consumers’ surplus“ , fungsi permintan P = f(Q) dan tingkat harga pasar adalah Pe.

Rumus Dari Surplus Konsumen adalah :

   2.2  Surplus Produsen

              Surplus produsen (Producers’ surplus) mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan tingakat harga pasar dari barang yang ditawarkan. Besar nya surplus produsen (Ps), fungsi penawaran P = f(Q) dan tingkat harga pasar (Pe). Dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas

DIFERENSIAL

 Fungsi Turunan (differensial)

Turunan atau dalam matematika ekonomi lebih dikenal dengan differensial merupakan suatu fungsi yang menggunakan beberapa rumus yang diawali dengan turunan pertamanya, yang digambarkan dengan fungsi sebagai berikut :

y     =     f(x)

dy / dx  = y’ = f’(x)

Untuk menerapkan fungsi turunan di atas ke dalam mikro ekonomi, maka fungsi tersebut dikembangkan ke dalam beberapa rumus-rumus differensial sebagai beberapa contoh di bawah ini :

1. 1.      Turunan Fungsi

Jika c dan n adalah anggota bilangan real, sebagaimana persamaan berikut :

y = cx2

dy / dx = c . n . x n-1

 

Contoh :

a. y = x5

dy / dx = 5 x 4

b. y = x

dy / dx = 1

1. 2.      Turunan suatu konstanta

Jika suatu konstanta diturunkan maka sama dengan nol (0).

y = c

dy / dx = 0

1. 3.      Turunan suatu jumlah

Jika y = u + v dimana u = f(x) dan v = g (x) maka

y = u + v

d (u + v) / dx = u’ + v’

Contoh :

a. y = x3 + x -1/2 + 3

dy / dx = 3x2 -1/2 x -3/2

b. y = 8x3 + 2x

dy / dx = 24x2 + 2

1. 4.      Turunan suatu hasil kali

Jika y = u . v di mana u = f(x) dan v = g(x) maka dy / dx = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x) atau u’v + uv’

Jadi,

y = u . v

dy / dx = uv’ + vu’

Contoh :

y = (x + 2) (2u + 1)

y = 4x + 5

1. 5.      Turunan hasil bagi

Jika y = f(x) / g(x) maka dy / dx = (f’(x) . g(x) – f(x) . g’(x)) / (g(x))2   atau

y = u / v

dy / dx = vu’ – uv’ / v2

Contoh :

y = (2x2 + x) / (x3 + 3)

dy / dx = (x3 + 3)(4x + 1)-(2x2 + 1)(3x2) / (x3 +3)2

dy / dx = -2x4 – 2x3 + 12x +3 / (x3 + 32)2

1. 6.      Turunan berantai

Jika y = (f(x))n maka dy / dx = n . (f(x))n-1 . f(x)

Contoh :

y = (x2 + 3x + 1)3

f(x) = (x2 + 3x + 1) maka f’(x) = 2x + 3

dy / dx = (x2 + 3x + 1)3 . (2x + 3)

atau gunakan rumus berikut ini,

y = f(u)

dy / dx = dy / du . du / dx

Contoh :

y = (x2 + 3)3

Misalnya, u = x2 + 3, maka

du / dx = 2x

y = u3

dy / du = 3u2

Jadi, dy / dx = 3u2(2x)

dy / dx = 3(x2 + 3)2(2x)

Fungsi turunan juga dapat dikembangkan menjadi beberapa rumus yang lain diantaranya sebagai berikut :

–         Fungsi Logaritma Biasa

1. y = log x

dy / dx = 1/x log e

1. y = log u

dy / dx = 1/u log e . du / dx

Catatan :

10 log e = 1/e log 10 = 1/ln10

Contoh :

y = log 8x

y = log 8 + log x

dy / dx = 0 + 1/x log e = 1/x log e

1. d(log u) = 1/u log e du / dx

Contoh :

y = 3 log (4x + 1)2

dy / dx = log 3 + 2 log (4x + 1)

–         Fungsi Logaritma Natural

1. y = ln x

dy / dx = 1/x ln e

Catatan :

ln e = e log e = 1

Contoh :

y = ln x3

y = 3 ln x

dy / dx = 3 . 1/x ln e

dy / dx = 3/x

1. y = ln u

dy / dx = 1/x . du / dx

Contoh :

y = ln (4x-3)

dy / dx = 1/(4x-3) . 4

dy / dx = 4/(4x-3)

–         Fungsi Eksponen

Differensial log, jika diketahui y = xx maka fungsi tersebut di ubah terlebih dahulu dalam bentuk log.

ln y = x ln x

1/y . dy / dx + x. 1/x + ln x . 1

1/y . dy / dx = 1 + ln x

dy / dx = x x(1+ln x)

–         Turunan Pembagian Suatu Konstanta dengan Fungsi

Misalnya,

y = c / v , dimana v = h(x)

dy / dx = (-c . dv / dx)/v2 

–         Turunan Kedua

Turunan kedua dari fungsi y = f(x) adalah turunan dari turunan pertamanya yang dikonotasikan sebagai berikut :

d2y / (dx)2 atau y”

Contoh :

Diketahui y = 2x5

y’ = 2 . 5x 5-1

= 10 x4 

y” = 10 . 4x 4-1 

= 40 x 3  

Penerapan Fungsi Turunan dalam Mikro Ekonomi

1. 1.      Biaya Marginal (Marginal Cost atau MC)

MC adalah tingkat perubahan biaya total yang diakibatkan oleh tambahan produksi satu unit.

MC adalah turunan pertama dari biaya total (Total Cost) = TC.

MC = TC’ = dTC / dQ

Contoh :

C = 4 + 2Q + Q2 

MC = …

Jawab :

MC = C’

= 2 + 2Q

Maka, TC minimum tercapai pada saat MC = 0 dan MC minimum tercapai pada saat MC’ = 0.

1. 2.      Penerimaan Marginal (Marginal Revenue = MR)

MR adalah pertambahan penerimaan yang diakibatkan penambahan penjualan satu unit barang.

MR adalah turunan pertama dari total penerimaan (TR) dimana TR = P . Q

MR = TR’ = dTR / dQ

TR maksimum pada saat MR = 0

Contoh soal :

Fungsi permintaan D = P = -3Q2 + 27, hitunglah fungsi penerimaan dari MR.

TR = P . Q

= (-3Q2 + 27)Q

= -3Q3 + 27Q

MR = -9Q2 + 27

1. 3.      Produk Marginal (Marginal Product = MP)

MP adalah produk tambahan yang dihasilkan (output) akibat penambahan satu unit faktor produksi yang digunakan (input).

MP merupakan turunan pertama dari fungsi produk total (P).

MP = P’ = dP / dx

x = jumlah input

MP maksimum tercapai pada saat Q mengalami titik belok dan P mengalami titik P” = 0.

P maksimum pada saat MP = 0.

Contoh soal :

P = f (x)

= 9x2 – x3

Jadi, MP = 18x – 3x2

P maksimum, MP = 0

0 = 18x – 3x2

0 = 3x(6-x)

x = 6

P maksimum = 9 (6)2 – (6)3 = 108

1. 4.      Kegunaan Marginal (Utility Marginal = MU)

MU